Estacionariedad en Series de Tiempo

• Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.

• Como un conjunto de variables aleatorias indexadas por el índice t.

Qué es la estacionariedad?

En primer lugar, es importante resaltar que existen múltiples definiciones de estacionariedad, entre las que destacaremos las siguientes dos:

• Estacionariedad Fuerte: Un proceso estocástico es estacionario fuerte si se cumple que la probabilidad de que el proceso tome cierto valor en cada estado permanece constante con el transcurso del tiempo.

• Estacionariedad Débil: Esta es la definición típicamente utilizada en el análisis de series temporales. Un proceso estocástico se considera estacionariamente débil si cumple las tres siguientes propiedades:

  1. $E[X_t] = \mu \ \ \forall t \in T$ , es decir, media constante.
  2. $E[X_t^2] < \infty \ \ \forall t \in T$, es decir, que el segundo momento sea finito en cualquier tiempo, lo que garantiza que la varianza sea finita.
  3. $Cov(X_{t1},X_{t2}) = Cov(X_{t1+h},X_{t2+h}) \ \ \forall t \in \mathbb{N}, \forall h \in \mathbb{Z}$

  La propiedad 3 hereda la homocedasticidad porque:

  $Cov(X_t, X_t) = Cov(X_{t+h}, X_{t+h}) \leftrightarrow Var[X_t] = Var[X_{t+h}]\ \ \forall t \in \mathbb{N}, \forall h \in \mathbb{Z}$

  lo cual implica que la varianza de cada estado del proceso es la misma.

Para verlo de manera mucho más clara, veamos unos ejemplos:

Por qué es importante saber si una serie de tiempo es estacionaria?

Principalmente, por una cuestión de predictibilidad. Las series estacionarias son mucho más fáciles de predecir. Debemos notar aquí el abuso del lenguaje, pues la serie temporal no es estacionaria, si no el proceso estocástico que la genera. (Aclarado esto, no haremos distinción de aquí en adelante). Pero entonces, como sé si mi serie temporal es estacionaria? Aquí podemos ayudarnos de tres métodos:

• Visuales, como los observados en las imagenes anteriores.

• Locales: Por ejemplo, midiendo la media/varianza en periodos distintos de tiempo y observando si esta cambia.

• Tests estadísticos: El test aumentado de Dickey-Fuller.

Test de Dickey-Fuller

La hipótesis nula del test de Dickey-Fuller es que existe raíz unitaria (es decir, la serie no es estacionaria), mientras que la hipótesis alternativa es que no hay raíz unitaria y por lo tanto la serie es estacionaria. Para rechazar la hipótesis nula tendremos que obtener un estadístico t de la prueba más negativo que el valor crítico, como se muestra en la siguiente imagen:

Veamos un ejemplo de implementación en R:

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library(urca)
library(timetk)
library(magrittr, include.only = '%>%')

df <- timetk::walmart_sales_weekly

df %>% timetk::plot_time_series(.date_var = Date,
                                .value = Fuel_Price,
                                .smooth = F,
                                .interactive = F)

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adf <-urca::ur.df(df$Fuel_Price, selectlags = 'AIC')

urca::summary(adf)

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.90849 -0.03126 -0.00127  0.03665  0.23581 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## z.lag.1    -0.0003160  0.0008588  -0.368    0.713    
## z.diff.lag  0.2773029  0.0304521   9.106   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.08814 on 997 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.0768,	Adjusted R-squared:  0.07495 
## F-statistic: 41.47 on 2 and 997 DF,  p-value: < 2.2e-16
## 
## 
## Value of test-statistic is: -0.368 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62

Podemos observar como el estadístico es -0.368, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula y por lo tanto la serie no es estacionaria. Pero entonces, no puedo aplicar esos algoritmos que requieren que mi serie sea estacionaria? Afortunadamente, existen métodos para transformar la serie y hacer que esta sea estacionaria.

Diferenciación

La diferenciación consiste en coger nuestra serie de tiempo y a cada valor restarle su valor anterior (notese que de esta forma, estamos acortando la serie temporal en una observación). La intuición por la que esta transformación hace una serie temporal estacionaria es la suposición de que tu serie sigue un comportamiento como el siguiente:

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df <- df %>% timetk::tk_augment_differences(.value = Fuel_Price)

df %>% timetk::plot_time_series(.date_var = Date,
                                .value = Fuel_Price_lag1_diff1,
                                .smooth = F,
                                .interactive = F) 

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3

adf <- urca::ur.df(diff(df$Fuel_Price), selectlags = 'AIC')

urca::summary(adf)

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.91057 -0.03206 -0.00014  0.03426  0.22538 
## 
## Coefficients:
##            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## z.lag.1    -0.68369    0.03806  -17.96   <2e-16 ***
## z.diff.lag -0.05445    0.03165   -1.72   0.0857 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.08805 on 996 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3632,	Adjusted R-squared:  0.3619 
## F-statistic: 284.1 on 2 and 996 DF,  p-value: < 2.2e-16
## 
## 
## Value of test-statistic is: -17.962 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62